Respuesta breve
El Islam es la religión, y un musulmán es una persona que la sigue. En árabe, Islam significa sumisión a Dios y musulmán significa el que se somete.
La respuesta completa
Las dos palabras vienen de la misma raíz, s-l-m, que también da la palabra salam, paz. Por eso los musulmanes dicen que Islam significa encontrar la paz sometiéndose a la voluntad de Dios, y el saludo entre musulmanes es 'la paz sea contigo'.
Es mejor decir 'musulmán' y no 'mahometano' para referirse a un seguidor. Los musulmanes no siguen a Muhammad ﷺ como a un dios ni como al fundador de una nueva religión. Siguen a Dios, y Muhammad ﷺ fue Su último mensajero.
Esta respuesta sigue la comprensión sunita mayoritaria y es aprendizaje general, no una fetua. Cuando los musulmanes discrepan, la respuesta lo dice. ¿Tienes una pregunta propia? Escríbenos.